微积分的核心概念是导数，前文提到导数的本质即为瞬时变化率，而瞬时变化率是增量的极限。尽管牛顿、莱布尼茨在微积分技术方面做出了具有伟大意义的开创性工作，但他们在为这门学科确定严格的基础方面却没有什么贡献，特别是对极限的严格定义方面模糊不清。极限理论是微积分的基础，是最重要的基础，然而也是最后才得到完善的。在数学史上，极限思想的根源起初是从寻找圆的面积当中获得启发的，极限概念从希腊的穷竭法开始逐渐发展。极限的概念在数学分析中大受欢迎的原因之一就是，它和古老的潜无穷思想符合得非常好。虽然极限概念的轮廓早在古代便已出现，但这个概念的严格阐述在19世纪之前还没有完成。
在数学史上，极限概念缺少精确的表达形式，因为它是建立在几何直觉基础之上的。微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。对作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”。这些都是朴素的，也是很典型的极限概念。但是，希腊人从未试图把曲线定义为被内接或者外接图形不断趋近的终点或者极限，“极限”的概念需要运动的思维范式！
在18世纪时，数学家达朗贝尔曾批评牛顿用速度来解释导数，因为某一瞬时速度并没有清楚的概念，而且这里还引入了一个非数学的运动概念。达朗贝尔在为《百科全书》所撰写的条目“极限”中，明确认为：当一个量以小于任何给定的量逼近另一个量时，可以说后者是前者的极限，尽管前者绝不会超过后者……
直到19世纪初，法国伟大的数学家柯西（1789—1857）揭开了数学严格化运动的序幕，并产生了深远的影响。他成功地表达出了正确的极限概念，提出了一系列关于极限的定理来证明微积分的合理性。极限理论成为微分学真正形而上学的基础。柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑，而不是在几何学的基础上。柯西明智地把微积分建立在极限的概念上。柯西在其《分析教程》中给出极限定义时，使这个概念脱离在所有与几何图形或者几何量相关之外。他说：“如果一个变量的连串值无限地趋向一个固定量，使之最后与后者之差可任意地小，那么最后这个固定值就被称为所有其他值的极限。”
极限成了清楚而确定的算术概念而非几何概念。他小心翼翼地定义和建立起微积分的基本概念：函数、极限、连续、导数和积分。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。在极限这个算术定义基础上，柯西接下来继续定义那个难以捉摸的术语——无穷小。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量。柯西认为：“如果一个变化量的数值无限减少，以至于朝着极限零收敛，那么这个量就成为无穷小了。”至此，柯西澄清了前人的无穷小的概念。微积分的发展从此进入一个新的阶段。
极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。从极限的观点看来，无穷小量不过是极限为零的变量。这就是说，在变化的过程中，它的值可以是“非零”，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于“零”。在早期的微积分中，对于无穷小量的认识，带有形象直观的局限性，没有极限的明确概念，因此不能认识它与有限的辩证关系，时而把它看作一个固定的有限的很小的量；时而把它看成孤立的似零非零的“无穷小”。总之，不能从变化趋向上说明它与“零”的内在联系，从而导致逻辑上的矛盾，所谓“无穷小的幽灵”即由此而来。确立了极限、无穷小和无穷大的概念之后，柯西就能够定义微积分的核心概念：导数。柯西使导数成为微分的核心概念，然后“微分”就可根据导数来定义。柯西给予了导数和微分概念一种形式上的精确性。就这样，柯西使微积分的基本概念得到了严密的阐述。由于这个原因，柯西通常被看作近代意义上的严格微积分的奠基者。通过极限概念精确的定义，他建立了连续性和无穷级数的理论以及导数、微分和积分的理论。
柯西的工作激励了他人，更多促使分析严密化的工作，主要的成就归功于另一位被誉为“现代分析之父”的德国数学大师魏尔斯特拉斯（1815—1897），他第一个给出了完全严格的在哲学上没有污点的极限理论。魏尔斯特拉斯非常清楚直觉是不可信的，所以他尝试着尽量以严密和精确的形式作为他的分析学基础。他希望把微积分只建立在数的观念上，由此将它完全与几何分开。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了数学分析的严谨基础。在魏尔斯特拉斯的分析体系中可以看出，无穷小不是一个确定的数，而是反映变元或函数的一种状态；无穷小也不是零，但它的极限是零。魏尔斯特拉斯的工作基本上完成了分析的算术化，加上实数理论、集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。这使数学走向了理性，微积分走向了理论，第二次数学危机基本解决。
德国数学家希尔伯特评论说：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础，通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难。今天，分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”
极限理论成为微积分的坚固基础，才使微积分进一步发展。现在我们绝大多数人在学校都是以此为基础来学习微积分的。
对连续性、无穷小量和微积分来说，芝诺悖论中的“飞矢不动”与之密切相关。把瞬时速度定义为平均速度当时间趋于零时的极限，就在瞬时速度与平均速度之间建立了联系。从哲学上，这最终否定了芝诺“飞矢不动”的悖论。在这一瞬间，尽管物体占据了一个确定的位置，但不等于说静止了，因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来！具体速度都知道了，还能说飞的箭不动吗！
对于芝诺的飞矢不动悖论来说，经典微积分能够准确处理亚里士多德认为无法处理的东西。芝诺所谈论的这个瞬间，至少在数学上，不是某种长度为零的东西，而是一个无穷小量。
飞矢悖论实际上是一个形而上学的悖论，准确地说，是微积分所无法给出的对无穷小量的一个准确哲学解释。
近代数学分析对付芝诺悖论的方法是纯粹技术上的。现代数学课上，老师会说前提“在每一个瞬间，箭都是静止的”是错误的，因为箭在瞬间时刻的速度能够作为“收敛到零但又始终包含瞬间时刻的一系列嵌套时间段上的平均速度的极限”，这个解答是魏尔斯特拉斯式的，正是他提炼的极限概念使得微积分可以处理与无穷小量以及芝诺式的无穷分割相关的问题。魏尔斯特拉斯的分析能够真正解释二分悖论，是百分之百算术的，没有无穷小、类比或任何芝诺使之层出不穷的自然语言的模糊性。毫不夸张地说，在魏尔斯特拉斯之后，二分悖论只是一个文字游戏。他的努力终于使分析从人们久已质疑的完全依靠运动直觉理解和几何概念中解放出来。他把无穷小量这个数学幽灵从数学王国中赶了出去，使无穷小量只是数学哲学史中一个曾激发无数灵感的一个概念。
微积分的精髓就是，增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分的精髓所在。从牛顿、莱布尼茨开始创立的微积分开始，到与现代被认为是使人满意的微积分之间，是由数百名伟大的数学家和名不见经传的数学家们的工作逐渐补充完善的。经过了大约150年，才产生了逻辑上完备的微积分。
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