参考：常用对数表 lg(self) 自然对数表 1~1000自然对数表 自然对数的底e
本金1000，年息8%，每年复利；多久可以翻一倍（到2000）；计算：1000*(1+0.08)T=2000;计算结果：log1.082;
本金1000，年息8%，连续复利；多久可以翻一倍（到2000）；计算：1000*e0.08*t=2000；计算结果：t=ln2/0.08=8.67
e是欧拉通过研究（1+1/x）x（x趋于±∞）的极限而发现的
约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年William Jones才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb。
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1．真数的考量：所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2．底的考量：那么只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么真数（取值0-1之间）取完对数就是负数，不好看）。
3．这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。(log0.10.5=0.3010299956639812;差别。log0.10.55=0.25963731050575617;)
4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算:
（1-1/X）1 = P1 ，
（1-1/X）2 = P2 ，
……
那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3,……之间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。
5．最后他再调整了一下，用（1- 1/X）X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。
6．让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当我们利用公比稍大于1的等比数列来构造对数时，e这个值就出现了，由此可以得到表达式
其中n是一个很大的整数，n越大，这个式子越接近一个特定的数e.
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)x，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。
e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。
涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线表达自然律。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：φkρ=αe。其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。
数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理 论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二 进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒 序，或许不是巧合。
二进制π取部分值为11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011
二进制e取部分值为10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101
([ ]符号内为17位倒序区。)
复式计算与连续复利
| 本金 | 100.0000 | 1000.0000 | 1000.0000 |
| 年利率 | 0.3600 | 0.3600 | 0.4800 |
| 单利 | 136.0000 | 1360.0000 | 1480.0000 |
| 复式计息期数：2 | 139.2400 | 1392.4000 | 1537.6000 |
| 复式计息期数：6 | 141.8519 | 1418.5191 | 1586.8743 |
| 复式计息期数：12 | 142.5761 | 1425.7609 | 1601.0322 |
| 连续复利（期数∞） | 143.3329 | 1433.3294 | 1616.0744 |
| 12期-单利 | 6.5761 | 65.7609 | 121.0322 |
| +∞期-12期 | 0.7569 | 7.5685 | 15.0422 |
lim(1+1/n)n(n→∞）=e=2.718281···
lim(1+t)1/t(n→0）=e=2.718281···
以e为底的对数称为自然对数，logex记为lnx，称为自然对数函数，它与y=ex互为反函数。
y=logex，求e的多少次羃等于x;
x=ey
lim(1+t)1/t(n→0）=e=2.718281···
极限的推导：lim(1+k/x)x(y→0）(k≠0,整数)，极限为：ek;
1 令y=k/x,则x=k/y,x→∞等价于y→0，故
2 lim(1+1/x)k/x(x→∞）=lim(1+y)k/y(y→0）
将本金A0存入银行，年利率为r，则一年后本息和为A0(1+r).如果年利率仍为r,但半年计一次利息，且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息，这样的利息又生利息。由于半年的利率为r/2，故一年后的本息之和为A0(1+r/2)2,这种计算利息的方法称为复式计息法。
如果一年计息n次，利息按复式计算，则一年后的本息之各为A0(1+r/n)n.如果计算的次数无限增大，即n→∞，则权限称为连续复利，这时一年后的本息之和为
A(r)=limA0(1+r/n)n(n→∞）=A0er
再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为：
A(r)=limA0(1+1/r)n(n→∞）=A0er*t
这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。
如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程：
=100*e0.05*t=200
计算结果得13.86年：
由于e在银行业务中的重要性，故有银行家常数之称。
指数函数ex对x的微分和积分都是函数本身，后人把这个规律叫做“自然律”，其中e是自然律的精髓。
因此lim(1+1/x)x=e(x→±∞）英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式“之一，并且名列第二。
底数为10的对数对十进制计算最为有利。